О бифуркациях букета из двух периодических траекторий кусочно-гладкой динамической системы с центральной симметрией 

Владимир Шлеймович Ройтенберг, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88), E-mail: vroitenberg@mail.ru 

517.925 

DOI

10.21685/2072-3040-2021-4-1 

Актуальность и цели. Описанию бифуркации в типичных семействах кусочно-гладких динамических систем на плоскости посвящено значительное число научных работ. Хотя в прикладных задачах часто встречаются динамические системы с симметрией, бифуркации кусочно-гладких систем с симметрией исследованы мало. Поэтому рассмотрение бифуркаций в типичных семействах таких динамических систем представляет несомненный интерес. Материалы и методы. Применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Исследуется поведение функций последования и функций расхождения при разных значениях параметров. При этом используются оценки производных локальных функций соответствия по траекториям в точках касания траекторий линии разрыва векторного поля. Результаты. Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле Х на плоскости, «сшитое» из гладких векторных полей, заданных соответственно в верхней и нижней полуплоскостях и имеющих периодические траектории, касающиеся оси х, инвариантное при преобразовании симметрии относительно начала координат. Букет Г, составленный из указанных периодических траекторий, является периодической траекторией поля Х. Для двухпараметрического семейства общего положения, являющегося деформацией поля Х в пространстве кусочно-гладких векторных полей с центральной симметрией, описываются бифуркации в окрестности U контура Г. Получена бифуркационная диаграмма – разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности в U векторных полей семейства. Выводы. Описаны типичные двухпараметрические бифуркации в окрестности рассматриваемого букета периодических траекторий. 

Ключевые слова

кусочно-гладкое векторное поле, симметрия, периодическая траектория, бифуркация, бифуркационная диаграмма 

 Скачать статью в формате PDF

1. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. : Наука, 1985. 224 с.
2. Simpson D. J. W. Bifurcations in piecewise-smooth continuous dynamical systems. Word Scientific, 2010. 238 p.
3. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. Differential Equations. 2011. Vol. 250, № 4. P. 1967–2023.
4. Advances in Nonsmooth Dynamics. Trends in Mathematics: Research Perspectives CRM Barcelona / ed. by A. Colombo, M. R. Jeffrey, J. T. Lazaro, J. M. Olm. Springer,2016.
5. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях периодической траектории «восьмерка» кусочно-гладкого векторного поля с симметрией // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2020. № 3. С. 98–113.
6. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях сшитого тройного цикла // Математика и математическое образование. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 9. Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2014. С. 54–67.